Spegling och projektion

Definitionen av en linjär transformation är att operationen är konsekvent för två ingångselement, i vårt fall två vektorer. Låt jag transformera, x och y för att vara vektorer, och C och K för att vara skalärer.

Kryssprodukt mellan två vektorer

Precis som mänskliga förare måste självkörande bilar ständigt skanna vägarna efter hinder och vägskyltar för att kunna köra våra gator säkert. För att göra detta är bilen utrustad med kameror som tar bilder av miljön med mycket korta intervaller. Men hur får bilen reda på Volvon innan den slarvigt kör på vägen eller plötsligt stoppas till följd av en olycka? Svaret är linjära transformationer.

Linjär avbildning engelska

Bilden av en Dalek-bil har en helt annan bild av pixlar jämfört med en nära turnering av samma bil. Det finns emellertid ett linjärt förhållande mellan bilderna, eftersom bilen själv inte ändrar sitt utseende. Tack vare linjära transformationer som förstoring och rotation av bildsekvensen kan den självnivellerande algoritmen bestämma bilens beteende framför och agera därefter.

Vad betyder linjär visualisering? Vi har tidigare sett att matriser ger ett användbart sätt att lagra koefficienter för variabler relaterade till ett linjärt ekvationssystem. Detta kapitel kommer att introducera ett nytt men relaterat sätt att tolka matriser och en välbekant ekvation: algebraiskt multiplicerar matrisen för att skapa en ny vektor. Vi kan tänka på vad som verkar på vektorer som representerar dem för andra vektorer.

Matriser omvandlar vektorer till nya vektorer, synliga på detta sätt, är funktioner av matriser med vektorer som ingång och utgång. Detta är ett nyckelbegrepp för linjära transformationer. Vilka är kraven för linjär visualisering? För att följande vektorfunktion ska kunna betraktas som en linjär transformation: då måste följande kriterier tillämpas: detta hänvisar till multiplikationen av en vektor med en matris, som med alla andra matematiska funktioner har en viss summa och ett definitionsintervall.

Summan av dess definition är alla vektorer med längd, och intervallet är de taldimensionella vektorer som är en möjlig utgång. På samma sätt är bilden bara en annan term för antalet vektorer som är lösningar på en ekvation, matrismultiplikation kan betraktas som en linjär transformation, och termerna kärnor och bild är endast meningsfulla i detta sammanhang.

Kärnan i den linjära visualiseringskärnan avser alla vektorer i definitionsmängden, som avbildas i nollvektorn i bildrummet och ofta markeras som ker. En alternativ förklaring är att kärnlösningen för ett system av homogena ekvationer.

Kärnan kallas också vanligtvis nollrum, vilket i allmänhet är godkänt, och de två uttrycken anses vara synonyma. Men om någon frågar en matematiker finns det en hög risk att svaret kommer att ges att kärnan och noll i rummet inte är likvärdiga begrepp, men är i huvudsak lika begrepp eftersom de har samma definition. Den semantiska skillnaden är att kärnan är utformad för en linjär bild, medan nollrummet är utformat för en standardmatris för en linjär beskrivning.

I nästan huvudrätten i linjär algebra behandlas båda uttrycken vanligtvis som likvärdiga. Om vi återgår till definitionen av kärnan kan vi algebraiskt hänvisa till följande definition. Lämna den linjära visualiseringen med definitionen av kvantitet och målkvantitet.